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本文系统地介绍了几何控制的概念、基本原理、应用领域以及研究目标，旨在为读者提供一个关于几何控制在现代工程系统中的应用和发展的全面视角。
大纲
- 几何控制概述
- 几何控制定义
- 几何控制是利用微分几何、李群和李代数研究控制系统的能控性、运动规划、镇定及最优控制等问题的过程。
- 动力系统与控制
- 动力系统描述的经典物理世界中的运动由初始条件决定。
- 控制问题涉及改变系统中参数以改变系统未来运动。
- 控制系统可以视为带控制参数的微分方程组，定义在状态空间的流形上。
- 容许轨迹与可达集
- 选定控制后的控制系统是特定的微分方程组，其解由初值条件唯一确定。
- 可行轨迹对应状态空间中的曲线，初值条件对应曲线的起始点。
- 不同控制得到从同一点出发的不同容许轨迹，构成给定初始状态的可达集。
- 向量场与动力系统
- 微分方程组的右端项是向量场，描述沿向量场的流。
- 控制系统是一族向量场，动力系统的特征在光滑变换下不变。
- 几何控制理论的应用
- 几何控制理论在机器人、机器视觉、量子控制、数学物理中有广泛应用。
- 研究多动力学模型，由有限维或无穷维流形的切丛或余切丛的分布确定。
- 几何力学与控制
- 几何力学是几何控制理论中创新方法的理论源泉。
- 几何力学工具可以解释下落的猫四足落地等现象，用于调整被控卫星运行姿态。
- 研究目标与数值控制算法
- 目标是发展计算几何力学并应用于几何控制理论。
- 旨在得到能长时间保持高精度的数值控制算法。
- 为航天器、潜航器、机器人等现代工程系统提供设计原理。
- 几何控制定义
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